序論：寫作是一種深度的自我表達(dá)。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇高等函數(shù)的概念范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；一致性；連續(xù)性；函數(shù)

一、高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性的基本概念

高等數(shù)學(xué)中的一致連續(xù)性是從函數(shù)連續(xù)的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個(gè)微小變化的界限區(qū)間，如果函數(shù)定義域以內(nèi)的任意兩點(diǎn)間的距離永遠(yuǎn)不超過這個(gè)界限范圍，則這兩點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之差就能夠達(dá)到任意小、無限小，這就是所謂的函數(shù)一致連續(xù)性概念。一直以來，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)的概念都是教學(xué)過程中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一，在多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過程中，筆者深刻感受到學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)一致連續(xù)概念時(shí)的疑惑和困難。甚至有不少學(xué)生會(huì)有這樣的疑問：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別究竟體現(xiàn)在哪里？

帶著上述問題，我們對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性進(jìn)行研究和分析。函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)重要的特征和性質(zhì)，它標(biāo)志著一個(gè)連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”現(xiàn)象，并對(duì)其連續(xù)性進(jìn)行歸納總結(jié)。函數(shù)一致連續(xù)性，要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都保持著連續(xù)的特點(diǎn)，不允許出現(xiàn)“突變”現(xiàn)象，同時(shí)還進(jìn)一步要求它在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近有大體上呈現(xiàn)均勻變化的趨勢(shì)。換句話說，函數(shù)一致連續(xù)性的定義為：對(duì)于任給定的正數(shù)ε，要求存在一個(gè)與自變量x無關(guān)的正數(shù)δ，使對(duì)自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意2個(gè)值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數(shù)一致連續(xù)性的條件要比函數(shù)連續(xù)的條件強(qiáng)。在目前采用的高等數(shù)學(xué)的教材中，只是給出一致連續(xù)的基本定義，以及利用該定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而呈現(xiàn)出了函數(shù)一致連續(xù)的完美邏輯結(jié)果。這種教學(xué)理念是很好的，但是，從實(shí)踐教學(xué)效果上看，又很不利于學(xué)生對(duì)定義的理解，尤其不利于學(xué)生對(duì)定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學(xué)工作者將函數(shù)一致連續(xù)性概念中所隱含的知識(shí)逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學(xué)生更快更好地充分理解一致連續(xù)的概念和意義。高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的基本定義為：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)ε＞0，對(duì)于每一點(diǎn)x∈I，都存在相應(yīng)δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)。該定義說明了函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)的基本特征。函數(shù)一致連續(xù)的基本概念是：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)ε＞0，存在δ（＞0），使得對(duì)任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。要特別注意的是，連續(xù)概念中δ與一致連續(xù)概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數(shù)一致連續(xù)性概念，現(xiàn)將函數(shù)函數(shù)不一致連續(xù)的概念進(jìn)行一下描述：存在某個(gè)ε0，無論δ 是怎么樣小的正數(shù)，在I上總有兩點(diǎn)x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數(shù)不一致連續(xù)的概念，理解和學(xué)習(xí)函數(shù)不一致連續(xù)的相關(guān)知識(shí)，有利于我們更好地學(xué)習(xí)和研究函數(shù)一致連續(xù)性問題。

二、高等數(shù)學(xué)引入一致性連續(xù)性的意義和價(jià)值

高等數(shù)學(xué)教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性，以及函數(shù)列的收斂性與一致收斂性等，都是初學(xué)者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)問題。在工程數(shù)學(xué)中，這些概念非常重要，筆者認(rèn)為，搞清楚和弄明白函數(shù)的一致連續(xù)的基本概念，以及掌握判斷函數(shù)是否具有一致連續(xù)特性的基本方法，無疑都將是理工科學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性理論知識(shí)的核心環(huán)節(jié)，也是日后成熟運(yùn)用該數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)和前提。通過學(xué)習(xí)和比較，我們能夠得出一個(gè)很明顯的結(jié)論：一致連續(xù)要比連續(xù)條件強(qiáng)。高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)是一個(gè)很重要的概念，在微積分學(xué)以及其他工程學(xué)科中常常會(huì)用到一致連續(xù)的知識(shí)，而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切的相互關(guān)系。實(shí)際上，我們?cè)谶M(jìn)行函數(shù)列的收斂問題研究時(shí)，常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂等概念及其關(guān)系。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問題，證明某一個(gè)函數(shù)是否具有一致連續(xù)性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學(xué)感到無從下手。為了解決這一難點(diǎn)，達(dá)到化抽象為簡(jiǎn)單的教學(xué)目的，筆者建議給出一致連續(xù)性的幾種常見等價(jià)形式，能夠很好地幫助學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)更易于理解和掌握函數(shù)一致連續(xù)性這一知識(shí)要點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)，也是教學(xué)大綱中的重點(diǎn)。因此，牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論知識(shí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。

函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義非常非常重要。數(shù)學(xué)分析抽象而且復(fù)雜難懂，這門學(xué)科本身就有著極強(qiáng)的邏輯思維和嚴(yán)密特征，主要體現(xiàn)在它能夠采用最簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確表述其他語言無法量化的復(fù)雜多變的事物發(fā)展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程。其幾何意義將在高等數(shù)學(xué)課程入門中起到一個(gè)有利引導(dǎo)作用，清晰明朗地向?qū)W生展示高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法和思維方式，幫助學(xué)生理解抽象概念，提高學(xué)生培養(yǎng)自身的創(chuàng)新思維能力。另外，探討函數(shù)一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系，同時(shí)在有界區(qū)間上給出一致連續(xù)和一致收斂的等價(jià)關(guān)系，有利于學(xué)生在今后研究連續(xù)、收斂問題中擁有更多的參考依據(jù)。

三、解決高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的對(duì)策

1.一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性

由于用函數(shù)一致連續(xù)的定義判定函數(shù) 是否一致連續(xù)，往往比較困難。于是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡(jiǎn)單的判別法。

定理1 若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 在 上一致連續(xù)。

這個(gè)定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊(cè)中，運(yùn)用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來證明。

分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)知，要證 在 上一致連續(xù)，即是要證對(duì) ，可以分區(qū)間 成有限多個(gè)小區(qū)間，使得 在每一小區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于 。

證明：若上述事實(shí)不成立，則至少存在一個(gè) ，使得區(qū)間 不能按上述要求分成有限多個(gè)小區(qū)間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個(gè)不能按上述要求分為有限多個(gè)小區(qū)間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續(xù)下去，就得到一個(gè)閉區(qū)間套 ，n=1，2，…，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點(diǎn)c滿足

（2-13）

且屬于所有這些閉區(qū)間，所以 ，從而 在點(diǎn) 連續(xù)，于是 ，當(dāng)時(shí)，就有

。（2-14）

又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對(duì)于 上任意點(diǎn) ，都有 。因此，對(duì)于 上的任意兩點(diǎn) ，由（2-14）都有 。（2-15）

這表明 能按要求那樣分為有限多個(gè)小區(qū)間，這和區(qū)間 的取法矛盾，從而得證。定理1對(duì)開區(qū)間不成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況：（1）對(duì)于有限開區(qū)間，這時(shí)端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn)；（2）對(duì)于無限區(qū)間，這時(shí)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。

定理2函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)，且 與 都存在。

證明：若 在 內(nèi)一致連續(xù)，則對(duì) ，當(dāng) 時(shí)，有

，（2-16）

于是當(dāng) 時(shí)，有

。（2-17）

根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續(xù)， 與 都存在。

若 在 連續(xù)，且 和 都存在，則

令（2-18）

于是有 在閉區(qū)間 上連續(xù)，由Contor定理， 在 上一致連續(xù)，從而 在 內(nèi)一致連續(xù)。

根據(jù)定理2容易得以下推論：

推論1 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。

推論2 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。

當(dāng) 是無限區(qū)間時(shí)，條件是充分不必要的。

2.一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性

定理3 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 都存在。

證明：（1）先證 在 上一致連續(xù)。

令 ，由柯西收斂準(zhǔn)則有對(duì) 使對(duì) ，有

。 （2-19）

現(xiàn)將 分為兩個(gè)重疊區(qū)間 和 ，因?yàn)?在 上一致連續(xù)，從而對(duì)上述 ，使 ，且 時(shí)，有

。 （2-20）

對(duì)上述 ，取 ，則 ，且 ，都有

。 （2-21）

所以函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。

（2）同理可證函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。

由（1）、（2）可得 在 內(nèi)一致連續(xù)。

若將 分為 和 ，則當(dāng) 與 分別在兩個(gè)區(qū)間時(shí)，即使有 ，卻不能馬上得出 的結(jié)論。

由定理3還容易得出以下推論：

推論3 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。

推論4 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。

推論5 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。

推論6 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。

參考文獻(xiàn)：

[1]王大榮，艾素梅；分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的求導(dǎo)方法芻議[J]；滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)；2005年03期

[2]袁文??；鄧小成；戚建明；；極限的求導(dǎo)剝離法則[J]；廣州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）；2006年03期

篇(2)

    學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力,高等數(shù)學(xué)是各高校的理工農(nóng)林等專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)課。在高等數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)、關(guān)鍵、貫穿作用的是數(shù)學(xué)概念。每個(gè)數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是提高解題能力的前提。數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有畏懼感,感覺抽象、枯燥,乏味。在有限的學(xué)時(shí)內(nèi),讓學(xué)生正確理解概念,教師舉例說明是直觀的,可以減少學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的盲目性。逆向思維可以打破學(xué)生的定向思維,使其從多層次、多角度理解概念,進(jìn)而深入的掌握知識(shí),大大的開拓視野。利用反例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中起著畫龍點(diǎn)睛的作用。

    分段函數(shù)是指在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同式子表示的一個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)在每段內(nèi)對(duì)應(yīng)的解析式是初等函數(shù),在分段點(diǎn)處的特性往往會(huì)發(fā)生很大的異常,這也是用作反例的重要價(jià)值。本文主要將一元分段函數(shù)作為反例,在高等數(shù)學(xué)中學(xué)生不易理解或者易混淆的幾個(gè)重要概念中進(jìn)行應(yīng)用。

    1 初等函數(shù)與分段函數(shù)

    由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算而形成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。由于分段函數(shù)是由幾個(gè)式子表示的函數(shù),有些老師講解初等函數(shù)的概念時(shí),只強(qiáng)調(diào)初等函數(shù)用一個(gè)式子表示,輕易地得出分段函數(shù)非初等函數(shù)的結(jié)論。事實(shí)上并非所有的分段函數(shù)都不是初等函數(shù)。

    例如,函數(shù)y=3x+2,x?叟0x+2,x<0為分段函數(shù),但是該函數(shù)可以用y=2x+■+2一個(gè)式子表示,顯示該分段函數(shù)是初等函數(shù)。其實(shí)分段函數(shù)在滿足一定條件下是初等函數(shù),可參考文獻(xiàn)[2]。通過此分段函數(shù)例子可以加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)和初等函數(shù)概念的理解,并且擴(kuò)大學(xué)生的思維。

    2 有界函數(shù)與函數(shù)值

    若函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)有界,則稱f(x)在區(qū)間I內(nèi)為有界函數(shù)。初學(xué)有界函數(shù)概念的學(xué)生易與有限的函數(shù)值混淆。事實(shí)上函數(shù)有界是函數(shù)在研究區(qū)間整體的一個(gè)性質(zhì),函數(shù)值是某點(diǎn)按照對(duì)應(yīng)法則計(jì)算的結(jié)果,這兩個(gè)概念是整體和局部上的區(qū)別。

    例如,分段函數(shù)f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0點(diǎn)的函數(shù)值為有限值■,但是對(duì)任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,從而知函數(shù)f(x)為無界函數(shù)。

    3 函數(shù)極限與函數(shù)值

    如果在xa的過程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地接近于常數(shù)A,則稱數(shù)A是函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的極限。初學(xué)函數(shù)極限的學(xué)生易想當(dāng)然的認(rèn)為函數(shù)的極限就是函數(shù)在點(diǎn)a處的函數(shù)值。事實(shí)上函數(shù)在點(diǎn)a處極限值的存在與該點(diǎn)處函數(shù)值無關(guān)。

    例如,已知函數(shù)f(x)=■,x≠25,x=2,極限■f(x)=

    ■■=■(x+2)=4,而在x=2處的函數(shù)值f(x)=5≠4。

    4 無窮大與無界函數(shù)

    若對(duì)于任意給定的不論多么大的正數(shù)M,總存在δ>0,當(dāng)0<x-a<δ時(shí),有f(x)>M成立,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)xa時(shí)為無窮大。初學(xué)者常錯(cuò)誤的將無窮大等價(jià)為無界函數(shù)。事實(shí)上無窮大是在研究范圍內(nèi)為無界函數(shù),但反之不一定成立。無界是指自變量在定義域內(nèi),函數(shù)值沒有界限,但是可能并沒有一個(gè)趨勢(shì)。無窮大是在自變量的某個(gè)變化過程中有確定的趨勢(shì)。

    例如,已知數(shù)列函數(shù)f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k為整數(shù)。顯然它是一個(gè)無界數(shù)列函數(shù),但當(dāng)n+∞時(shí),它不是無窮大,因?yàn)槠鏀?shù)子列是收斂的,極限值為0。

    5 原函數(shù)和可積

    若f(x)在閉區(qū)間I上有原函數(shù),很多學(xué)生就認(rèn)為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上可積。這是因?yàn)樗麄儗⒃瘮?shù)和可積兩者認(rèn)為等價(jià)的。事實(shí)上,函數(shù)具有原函數(shù)和可積不是充要條件。

篇(3)

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；反例；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O13

1， 反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

高等數(shù)學(xué)的反例是指符合某一個(gè)命題的條件，但又和此命題結(jié)論相矛盾的例子。正確的命題需要嚴(yán)密的證明，錯(cuò)誤的命題則靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

關(guān)于二元函數(shù)的極限的概念，現(xiàn)在的描述性定義盡管比過去的“ ”定義簡(jiǎn)單，但 是表示點(diǎn) 以任何方式接近于點(diǎn) ，所以在討論極限是否存在時(shí)，只要選擇兩條不同路徑，而按這兩條路徑計(jì)算的極限值不同，既可說明極限不存在。

例 討論二元函數(shù)

是否存在極限？

解 當(dāng)點(diǎn) 沿直線 趨于點(diǎn) 時(shí)，有

，當(dāng)點(diǎn) 沿直線 趨于點(diǎn) 時(shí)，有 ?？梢娧夭煌窂胶瘮?shù)趨于不同值，該函數(shù)的極限不存在。又

同理可得 ，二元函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，但其偏導(dǎo)數(shù)卻存在。但對(duì)于一元函數(shù)是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)生對(duì)定理?xiàng)l件和結(jié)論之間的“充分”、“必要”性的理解通常是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。而反例使學(xué)生打開眼界，拓寬思路，從而全面正確理解高等數(shù)學(xué)的基本定理。拉格朗日定理是微積分的基本定理，關(guān)于它的學(xué)習(xí)，一般先介紹定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少薦在一點(diǎn) ，使得

成立），再結(jié)合圖形給予證明。對(duì)給定的具體函數(shù)，要求能夠判斷其是否在所給區(qū)間上滿足指定的定理的條件，并能求出滿足定理中的 。

1.3 有助于錯(cuò)誤命題的有效糾正

在一元函數(shù)中有兩個(gè)重要結(jié)論。一是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；二是若f （x）在某某區(qū)間（a， b）內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn) ，而且從實(shí)際問題本身又能夠知道f （x）在該區(qū)間內(nèi)必定有最大值或最小值.則 就是所要求的最大值或者最小值。按照常規(guī)的思維模式，人們很自然把它們推廣到二元函數(shù)。

2 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)反例思想的滲透，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一些基本概念和定理的學(xué)習(xí)和理解，并能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步提高教學(xué)效果。

2.1 恰當(dāng)構(gòu)造反例，加深對(duì)概念的理解

理解概念是學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是其能力培養(yǎng)的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識(shí)，嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質(zhì)。在高等數(shù)學(xué)的極限概念教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，會(huì)得到事半功倍的效果。在極限概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生認(rèn)為：①有界函數(shù)的極限一定存在；

②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述兩種想法都是錯(cuò)誤的.對(duì)于①構(gòu)造反例

因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 不能無限接近于一個(gè)確定的常數(shù) ，所以，極限 不存在，對(duì)于②構(gòu)造反例 ，

2.2正確應(yīng)用反例，加深對(duì)定理的理解

定理教學(xué)中，反例和證明具有同等重要的地位，通過嚴(yán)密的證明才能夠肯定一個(gè)命題的正確性，而巧妙的反例即可否定一個(gè)命題的正確性。

在高等數(shù)學(xué)的定理教學(xué)中，正確地應(yīng)用反例，能夠全面地理解定理的條件和結(jié)論，更好地應(yīng)用定理解決問題。關(guān)于羅爾定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)；. 。則在（（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 成立）的教學(xué)，因?yàn)樗皇抢窭嗜盏奶乩?，一般是結(jié)合圖形給予說明，不做重點(diǎn)講解。但能夠應(yīng)用反例加深對(duì)定理的理解，說明羅爾定理的三個(gè)條件是使 成立的充分條件，而不是必要條件。

2.3 有效利用反例，糾正習(xí)題中的錯(cuò)誤

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)需要解題，在解題中要鼓勵(lì)學(xué)生從多方面進(jìn)行思考，多角度進(jìn)行探索，挖掘新思路：鼓勵(lì)學(xué)生去聯(lián)想發(fā)揮，改變條件，對(duì)習(xí)題進(jìn)行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短的時(shí)間內(nèi)，較直觀地反映出錯(cuò)誤所在，而且，由此往往能產(chǎn)生正確的途徑。

“反例”揭示了數(shù)學(xué)上這種“失之毫厘，差之千里”的特點(diǎn)，達(dá)到了教學(xué)中那種“打開眼界，拓寬思路”的效果。所以，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，廣大教師應(yīng)重視和恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例。

參考文獻(xiàn)

[1]吳里波.淺談高等數(shù)學(xué)課中微分中值定理教學(xué)方法一反例教學(xué)法.思茅師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2012（3）.

篇(4)

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 極限

【中圖分類號(hào)】G642【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1006－9682（2009）01－0071－01

高等數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象是函數(shù)，而研究函數(shù)的基本方法是極限，極限的概念是個(gè)比較抽象的概念。對(duì)于那些從初等數(shù)學(xué)進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的高職高專學(xué)生而言，不論從知識(shí)結(jié)構(gòu)方面，還是從思維方式上來講，都要有一個(gè)本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。為了更好的實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)變，就要求我們教師必須把要教的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行必要的加工，按照學(xué)生的實(shí)際情況逐漸引導(dǎo)學(xué)生走上正確的分析思維，抽象，概括，解決實(shí)際問題的道路。

一、講解實(shí)例，使學(xué)生獲得有關(guān)極限概念的感性認(rèn)識(shí)。

為了使學(xué)生更好的理解極限的概念，我們先從以下2個(gè)例子來講解。

例1：如何求圓的面積？

解題思路：用圓內(nèi)接正n邊形的面積去逼近圓的面積。

設(shè)有一圓，其面積記為s，做它的正四邊形，正八邊形……正n邊形，記做s4，s8……sn，當(dāng)圓內(nèi)的正多邊形的邊數(shù)越來越多的時(shí)候，它的面積就越近似于圓的面積，即當(dāng)n∞時(shí)，sns。

這個(gè)例題是非常有名的“劉徽割圓術(shù)”，雖然當(dāng)時(shí)沒有嚴(yán)格的極限定義，但是他的這種思想正是體現(xiàn)了極限的概念。

例2：求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。

對(duì)這個(gè)實(shí)例應(yīng)著重弄清兩個(gè)問題：第一，要求瞬時(shí)速度，為什么要先考慮平均速度？第二，為什么要規(guī)定瞬時(shí)速度是平均速度的極限？在瞬時(shí)速度的概念提出之前，已經(jīng)有了勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度概念及其計(jì)算方法，引出平均速度只要是將非勻速直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為迅速運(yùn)動(dòng)來處理，從而求出瞬時(shí)速度的近似值。

（s―位置的改變量；t―時(shí)間的改變量）

表示物體在t時(shí)間內(nèi)的平均速度，它隨t的變化而變

化，當(dāng)時(shí)間改變量t越來越小時(shí)，位置的改變量s也越來越小，

而平均速度 越來越接近一定值，即平均速度作為瞬時(shí)速度的

近似值，其近似程度越小越好，但不管t多么小，所求得的平均速度還不是t時(shí)刻的速度，而只是它的一個(gè)近似值。要把這個(gè)近似值轉(zhuǎn)化為精確值，即求出了t時(shí)刻的速度，只有縮小t，當(dāng)t0時(shí)，v（t）v平均，也就是說t越變?cè)叫?，v平均與v（t）就越接近，有近似值而飛躍到了精確值。

重點(diǎn)講清這個(gè)事例后，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究非均勻變化的變化問題確實(shí)是世界中存在的普遍問題，而這類問題的解決都?xì)w納為求極限的問題。

二、根據(jù)實(shí)例給出函數(shù)極限的定義

通過上面兩個(gè)例子，我們可以將它們看作是一個(gè)函數(shù)。如果給定一個(gè)函數(shù)y＝f（x），其函數(shù)值y會(huì)隨著自變量x的變化而變化，若當(dāng)自變量無限接近于某個(gè)“目標(biāo)”，這個(gè)目標(biāo)可以是任意一個(gè)確定的常數(shù)x0，也可以是＋∞或－∞。此時(shí)，函數(shù)值y無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f（x）以A為極限，下面就以例題并結(jié)合它的數(shù)值表充分說明函數(shù)的極限。

例3：考察當(dāng)x3時(shí)，函數(shù) 的變化。

解：函數(shù) 在（－∞，＋∞）有定義。

設(shè)x從3的左、右側(cè)無限接近于3，即x的取值及對(duì)應(yīng)的函數(shù)表如下：

x … 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 …

f（x） … 2.97 2.997 2.9997 … 3 … 3.003 3.03 3.3 …

數(shù)值表給出后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去從靜態(tài)的有限量來刻畫動(dòng)態(tài)的無限量，通過直觀的數(shù)據(jù)讓學(xué)生看到，當(dāng)x越來越接近于

3時(shí)，也就是我們所說的那個(gè)目標(biāo)，函數(shù)值 的值就

無限接近于3，體現(xiàn)了我們最后用近似值代替精確值的思想。那么，由這個(gè)例題，教師可以給出極限的定義。

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某一空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x無限接近于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)A，則稱A為xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限，記作： 或

f（x）A（xx0）。

極限的定義給出以后，教師可以讓學(xué)生根據(jù)極限的定義寫出

例三的極限，即 。

這時(shí)，有些同學(xué)可以看到， 的極限值與f（3）的函

數(shù)值相等，這是怎么回事？它會(huì)給同學(xué)們一個(gè)錯(cuò)誤的概念，求極限就是在求函數(shù)值，雖然在后面我們會(huì)講到某些函數(shù)求極限是靠函數(shù)值求出來的，但是這二者之間沒有任何關(guān)系。

例如，求 ，如圖所

示，當(dāng)x＝1， 無意義，所

以函數(shù)值是不存在的，而當(dāng)x1時(shí)，從圖象上可以看出

，所以說，極限是否存在與這點(diǎn)有沒有函數(shù)值沒有

任何關(guān)系。

參考文獻(xiàn)

1 侯風(fēng)波. 高等數(shù)學(xué)（第2版）. 北京：高等教育出版社，2003.8

篇(5)

關(guān)鍵詞：區(qū)域 域 開域 閉域

在學(xué)習(xí)“多元函數(shù)微積分”或者“復(fù)變函數(shù)”時(shí)都要先學(xué)習(xí)平面點(diǎn)集的一些基本概念。也就是將R1中的區(qū)間、開區(qū)間、閉區(qū)間等概念推廣到R2中。下面是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編《高等數(shù)學(xué)（第六版）下冊(cè)》中給出的關(guān)于平面點(diǎn)集的幾個(gè)概念的定義。

開集：如果點(diǎn)集E 的點(diǎn)都是E 的內(nèi)點(diǎn)， 則稱E為開集。

閉集：如果點(diǎn)集E的邊界？墜E？奐E，則稱E為閉集。

開集的例子： E={（x， y）|1

閉集的例子： E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

集合{（x， y）|1

連通集： 如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線聯(lián)結(jié)起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于E，則稱E為連通集。

區(qū)域（或開區(qū)域）： 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。例如：E={（x， y）|1

閉區(qū)域： 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域。例如E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。

國(guó)內(nèi)出版的其他《高等數(shù)學(xué)》《微積分》和《復(fù)變函數(shù)》的教材中關(guān)于這幾個(gè)概念的定義都基本相同。根據(jù)上述定義不難發(fā)現(xiàn)，R1中的開區(qū)間、閉區(qū)間在R2中分別與區(qū)域（開區(qū)域）、閉區(qū)域相對(duì)應(yīng)，但是R1中的區(qū)間在R2中沒有與之對(duì)應(yīng)的概念。我們可以說開區(qū)間和閉區(qū)間都是一種區(qū)間，但卻不能說開區(qū)域和閉區(qū)域都是一種區(qū)域。因?yàn)閰^(qū)域和開區(qū)域是同一個(gè)概念，所以區(qū)域不是開區(qū)域和閉區(qū)域的屬概念，而區(qū)間卻是開區(qū)間和閉區(qū)間的屬概念。

查閱英文原版教材發(fā)現(xiàn)英文版的《微積分》及《復(fù)變函數(shù)》教材中關(guān)于平面點(diǎn)集的概念體系與國(guó)內(nèi)現(xiàn)行教材有差異。下面是美國(guó)James Ward Brown和Ruel V. Churchill合著的《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用（英文版·第7版）》中給出的關(guān)于平面點(diǎn)集的幾個(gè)概念的定義：

A set is open if it contains none of its boundary points. It is left as an exercise to show that a set is open if and only if each of its points is an interior point.

A set is closed if it contains all of its boundary points.

An open set that is connected is called a domain.

A domain together with some， none， or all its boundary points is referred to as a region.

從上面的定義可以看出，“開集（open set）”和“閉集（closed set）”與國(guó)內(nèi)教材是一致的。與“domain”對(duì)應(yīng)的是“區(qū)域”，但是英文教材中多了一個(gè)“region”，它是“open region”和“closed region”的屬概念。如果按照國(guó)內(nèi)教材現(xiàn)行的概念體系，沒有與“region”對(duì)應(yīng)的中文術(shù)語。在上述英文版教材的中文版中勉強(qiáng)生造了一個(gè)術(shù)語“帶邊區(qū)域”來翻譯“region”，我認(rèn)為翻譯得很不恰當(dāng)，因?yàn)閲?guó)內(nèi)教材的概念體系與國(guó)外教材的概念體系有沖突，只有將國(guó)內(nèi)教材中的個(gè)別概念重新定義和命名，才能找到好的翻譯，下面是我的修改建議：

1.廢除“區(qū)域”的別名“開區(qū)域”。

2.在“區(qū)域”的基礎(chǔ)上定義一個(gè)新的概念“域”，與英文中的“region”對(duì)應(yīng)，定義和英文教材中相同：一個(gè)區(qū)域加上某些、或者不加、或者加上全部的邊界點(diǎn)形成的點(diǎn)集稱為域。

3.再定義“開域”和“閉域”：一個(gè)區(qū)域不加任何邊界點(diǎn)即區(qū)域自身叫做開域，因此開域與區(qū)域的外延相同，開域成了區(qū)域的新的別名。一個(gè)區(qū)域加上全部的邊界點(diǎn)形成的點(diǎn)集稱為閉域。域是開域和閉域的屬概念。

按上面的方法修改之后，中文教材中的概念體系就和英文教材中的概念體系完全一致了，“region”也就有了更好的譯名：“域”?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)本來就是從國(guó)外引進(jìn)，所以在教材的編寫上與國(guó)際接軌無可厚非。而且比較關(guān)于平面點(diǎn)集這部分內(nèi)容的中外教材，英文教材的概念體系邏輯性更強(qiáng)。有跟“區(qū)間”（interval）對(duì)應(yīng)的概念“域”（region），便于從一元函數(shù)微積分過渡到多元函數(shù)微積分。

最后簡(jiǎn)單介紹一下這幾個(gè)概念之間的關(guān)系以供教學(xué)參考：

1.開集與閉集不是矛盾關(guān)系而是交叉關(guān)系，因?yàn)檎麄€(gè)平面R2既是開集又是閉集。所以如果把平面點(diǎn)集分為開集、閉集和既不開也不閉的點(diǎn)集的分類是不科學(xué)的，因?yàn)榭茖W(xué)的分類不允許有重復(fù)。開集和閉集的關(guān)系可用下圖表示：

■

2.區(qū)域（開域）和閉域的關(guān)系也跟開集和閉集的關(guān)系一樣是交叉關(guān)系，因?yàn)檎麄€(gè)平面R2既是開域又是閉域。區(qū)域（開域）和閉域的關(guān)系也用圖形來表示：

■

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版 下冊(cè)）.北京： 高等教育出版社， 2007.

[2] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第二版）.北京： 高等教育出版社，1988.

[3] Wilfred Kaplan.高等微積分學(xué)（第五版 英文版）.北京： 電子工業(yè)出版社， 2004.

[4] James Ward Brown， Ruel V. Churchill .復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用（英文版·第7版）.北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2004.

篇(6)

隨著計(jì)算機(jī)的普及，數(shù)學(xué)進(jìn)入了許多以往不曾涉及的領(lǐng)域。原來大學(xué)課程中只作定性分析的學(xué)科，現(xiàn)在開始了定量分析，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、醫(yī)學(xué)等。這些學(xué)科與數(shù)學(xué)相互交叉，大量的新學(xué)科紛紛出現(xiàn)，數(shù)學(xué)不再被理工科學(xué)生獨(dú)享，更多的文科生加入到這個(gè)學(xué)科中來。

一、重視高等數(shù)學(xué)概念的鞏固

數(shù)學(xué)概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的明確性和嚴(yán)密性。在高等數(shù)學(xué)中，諸如"函數(shù)"、"極限"、"積分"這樣一些概念的定義，都是為了正確地規(guī)定數(shù)學(xué)中所使用的術(shù)語的含義。人們就是充分運(yùn)用了數(shù)學(xué)概念的作用，有效地從數(shù)和量的角度對(duì)事物進(jìn)行分類，從而展開數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和形成數(shù)學(xué)思想與方法的。數(shù)學(xué)概念寥寥數(shù)語就包含了豐富復(fù)雜的思想內(nèi)容，而將它與既有明確性又有嚴(yán)密性的其他概念結(jié)合起來，又進(jìn)一步創(chuàng)造出新的概念，反復(fù)地這樣做，逐步創(chuàng)造出含義越來越豐富的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)概念的一個(gè)基本特點(diǎn)是具有抽象的形式化。函數(shù)概念的形成過程就可以說明這一點(diǎn)。盡管"函數(shù)"的樸素觀念，幾乎是與數(shù)學(xué)本身同時(shí)出現(xiàn)的，表現(xiàn)在研究物體的大小以及位置關(guān)系時(shí)，自然就碰到了通常函數(shù)關(guān)系的那種數(shù)量關(guān)系。然而，作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的函數(shù)概念，直到17世紀(jì)末才由萊布尼茲引入。后來人類經(jīng)過多次抽象化，函數(shù)概念才逐步形成今天的面貌?？疾爝@個(gè)全過程，數(shù)學(xué)概念的抽象性的特點(diǎn)就變得一目了然了。最初人類把函數(shù)只是當(dāng)作"冪"的同義語，到萊布尼茲才把"凡是與曲線的點(diǎn)有關(guān)的量"稱為函數(shù)。

鞏固概念是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時(shí)鞏固，就會(huì)被遺忘。鞏固概念，首先應(yīng)在引入、形成概念后，及時(shí)進(jìn)行復(fù)述，以加深對(duì)概念的印象；其次應(yīng)重視在發(fā)展中鞏固；第三是通過概念的應(yīng)用來鞏固。概念的應(yīng)用要注意遞進(jìn)的過程，即由初步的、簡(jiǎn)單的應(yīng)用，逐步發(fā)展到較復(fù)雜的應(yīng)用。要注意引導(dǎo)學(xué)生在判斷、推理、證明中運(yùn)用概念，在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中運(yùn)用概念，以加深對(duì)概念的理解，達(dá)到鞏固概念的目的。反映在具體概念的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考分析以下幾個(gè)問題：（1）新概念是怎樣引進(jìn)的，它的實(shí)際背景和現(xiàn)實(shí)模型是什么？（2）新概念的內(nèi)涵是什么，外延有哪些，它和已學(xué)過的舊概念有何內(nèi)在聯(lián)系？（3）怎樣判斷某一個(gè)對(duì)象是否合乎定義的要求，怎樣列舉不符合定義要求的反例？（4）利用新概念可以解決什么問題？（5）條件許可的話，還可以進(jìn)一步分析新概念為什么采用這樣的定義，能否改變定義項(xiàng)？如在講到一元函數(shù)微分概念時(shí)，可做以下分析：在數(shù)學(xué)中給出（界定）一個(gè)概念（定義），接著就應(yīng)該討論它的內(nèi)涵和外延。在此，定義之后就應(yīng)該考慮什么樣的函數(shù)是可微函數(shù)？可微函數(shù)具有什么特征（性質(zhì)）？第一個(gè)問題若用定義去檢驗(yàn)判別有點(diǎn)大海撈針的感覺，因?yàn)楹瘮?shù)太多了，因此常從第二個(gè)問題人手，利用可微函數(shù)的定義討論這類函數(shù)所具有的性質(zhì)，也就是可微函數(shù)的必要條件。接著自然會(huì)問：這條件是否又是充分條件呢？若是，就解決了什么樣的函數(shù)可微這個(gè)問題。若不是，通過完善條件導(dǎo)出可微定義中的條件，也就解決了第一個(gè)問題。

二、重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練

對(duì)許多知識(shí)淡化了嚴(yán)密的推導(dǎo)過程，并不等于我們對(duì)于所有結(jié)論都簡(jiǎn)單而直接地拿來。我們把節(jié)省的時(shí)間，除了用來訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，還用來對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。例如，定積分的學(xué)習(xí)，單純從計(jì)算的角度出發(fā)，在學(xué)習(xí)了不定積分后，只需10分鐘講明"牛頓-萊布尼茲"公式即可?？蛇@樣做，削弱了學(xué)生對(duì)定積分的理解，而且"微元法"這一基本的、有實(shí)用價(jià)值的思想方法將與學(xué)生失之交臂。因此，我們從學(xué)生熟悉的求平面圖形的面積入手，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)領(lǐng)悟微元法，然后通過物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)例，加深對(duì)微元法的理解。同時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)科交叉、注重素質(zhì)教育。由于高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，因此，要求學(xué)生對(duì)一元函數(shù)微積分學(xué)的知識(shí)要掌握牢固、扎實(shí)，能熟練運(yùn)用其基本理論和公式計(jì)算有關(guān)題目。為此，我們應(yīng)安排的課時(shí)較多一些，如在解方程中介紹行列式的知識(shí)；在極值的應(yīng)用中結(jié)合管理學(xué)的知識(shí)等。在講授例題中注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。對(duì)課程改革要制定明確的目標(biāo)和詳細(xì)的措施，同時(shí)制定相關(guān)的規(guī)章制度以保證這些制度的有效執(zhí)行，并對(duì)這些措施進(jìn)行及時(shí)總結(jié)和改進(jìn)。通過這些措施的實(shí)施，課程改革才能取得較為明顯的效果。

三、在課堂教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的手段

1）編寫新的高等數(shù)學(xué)教案。這之中，對(duì)其體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容選取、練習(xí)內(nèi)容、形式以及敘述的方式都要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求，特別要重視編寫好緒論和每章開始的概述和末尾的結(jié)束語或小結(jié)。

2）根據(jù)每一教學(xué)內(nèi)容的類型和特點(diǎn)去設(shè)計(jì)貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法教學(xué)的途徑。教師要以啟發(fā)式教學(xué)思想為指導(dǎo)，嘗試采用發(fā)現(xiàn)法、探究法等多種教學(xué)法，充分運(yùn)用變式教學(xué)，發(fā)揮教師的向?qū)ё饔?，?chuàng)造性地運(yùn)用技巧，拓展學(xué)生的思維空間。

3）指導(dǎo)學(xué)生做好各章節(jié)的小結(jié)，閱讀有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的參考書或舉辦專題報(bào)告會(huì)。教師要在充分研究和了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，運(yùn)用討論法、研究法等鼓勵(lì)學(xué)生相互探討、爭(zhēng)論、交流思維方法，相互啟迪，產(chǎn)生共鳴。

篇(7)

1.以高等數(shù)學(xué)符號(hào)、概念為背景來設(shè)計(jì)試題。

此類題目的命制是在題設(shè)中直接引入了高等數(shù)學(xué)中的某些概念、結(jié)論、運(yùn)算等，要求學(xué)生能內(nèi)化題目給定的信息，抓住相應(yīng)的關(guān)系和特征，結(jié)合原有的初等知識(shí)解決問題。

例1（2009福州）在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)其中任何一向量 ，定義范數(shù) ，它滿足以下性質(zhì)： ，當(dāng)且僅當(dāng) 為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù) ， （注：此處點(diǎn)乘號(hào)為普通的乘號(hào)）。（3） 。試求解以下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)向量 ，下面給出的幾個(gè)表達(dá)式中，可能表示向量 的范數(shù)的是__（4）___.（把所有正確答案的序號(hào)都填上）

（1） （2） （3） （4）

【追根尋源】設(shè)V（F）是數(shù)域F上的線性空間，定義在F上的實(shí)值函數(shù)P：V（F）R如果滿足以下條件：

正定性：x0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立；

齊次性：kx=kx；k∈R；

三角不等式：x+yx+y；

則稱此實(shí)值函數(shù)P為V（F）上的范數(shù)，給定范數(shù)的線性空間（X，P）為賦范空間。[

【評(píng)析】本題以大學(xué)范數(shù)的概念為載體，考查演繹推理，抽象函數(shù)及其應(yīng)用的。該函數(shù)具有一定的抽象性及函數(shù)圖象的不可作出性，因此該函數(shù)的性質(zhì)在理解時(shí)也具有很強(qiáng)的抽象性，體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的形成過程的考查.考查了學(xué)生的閱讀理解能力、推理論證能力、抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力。

【說明】高斯函數(shù)、小數(shù)函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、分漸近線、凸凹性、整除性環(huán)域、群、封閉性等均可成為此類試題的源泉。

2.以高等數(shù)學(xué)的運(yùn)算系統(tǒng)為背景來設(shè)計(jì)試題

此類題目的命制是以高等數(shù)學(xué)的抽象代數(shù)中的運(yùn)算系統(tǒng)知識(shí)為背景設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情景，給出一定容量的新信息，通過閱讀相關(guān)信息，捕捉解題靈感而進(jìn)行解答的一類新題型。

例2（2011廣東高考）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果 有 ，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T，V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集， 且 有 有 ，則下列結(jié)論恒成立的是（A）

A. 中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

B. 中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

C. 中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

D. 中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

【追根尋源】假定G是一個(gè)有代數(shù)運(yùn)算“+”的非空集合，如果滿足下面條件，那么我們就說G對(duì)于代數(shù)運(yùn)算“+”構(gòu)成群：

（1）結(jié)合律成立：即對(duì)于任意 都有（ + ）+ = +（ + ）；

（2）在G中存在一個(gè)元素 ，叫做G的單位元，對(duì)于任意 ，都有 + = + = ；（3）對(duì)于任意 G，在G中存在一個(gè)元素 叫做 的逆序元，使得 + = + = ，這里 是一個(gè)固定的單位元。

【評(píng)析】此題以大學(xué)的群運(yùn)算為載體，正確理解封閉的含義是解答的關(guān)鍵。試題具有一定的開放性，便于考查學(xué)生對(duì)新穎材料的學(xué)習(xí)理解能力、信息處理的解題能力。

【說明】整除性、環(huán)域、群、封閉性常為構(gòu)成此類試題的源泉。

3.以高等數(shù)學(xué)的知識(shí)居高鄰下設(shè)計(jì)試題

此類試題運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的公式、定理、性質(zhì)或其變式、引申，居高鄰下設(shè)計(jì)試題，再利用初等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題。

例3.（2013江西高考）已知函數(shù) ， 為常數(shù)且 。若 滿足 ，但 ，則稱 為函數(shù) 的二階周期點(diǎn)。如果 有兩個(gè)二階周期點(diǎn) ，試確定 的取值范圍。

【追根尋源】不動(dòng)點(diǎn)原理是高等數(shù)學(xué)上一個(gè)重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動(dòng)點(diǎn)定理。完整的表達(dá)：完備的距離空間上，到自身的一個(gè)壓縮映射存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).用初等數(shù)學(xué)可以這么理解：連續(xù)映射f的定義域包含值域，則存在一個(gè)x使得f（x）=x。

【評(píng)析】高等數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)比較靠近，有些概念、結(jié)論只要稍作敘述，就能以中學(xué)數(shù)學(xué)的形式出現(xiàn)。就如本題學(xué)生只要理解函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)的定義：不動(dòng)點(diǎn)是方程f（x）=x的實(shí)數(shù)根。本題只要將 的實(shí)根 求出，再扣除不動(dòng)點(diǎn)。此題只是在原來常見的求不動(dòng)點(diǎn)的題型的基礎(chǔ)上稍微進(jìn)行了變化。

【說明】格朗日中值定理、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理、根據(jù)同構(gòu)觀點(diǎn)利用“關(guān)系映射反演原則”對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行等價(jià)變換和求解、利用射影變換、仿射變換方法構(gòu)造幾何題都常為此類試題的源泉。

4.以中學(xué)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)的延伸來設(shè)計(jì)試題。

高等數(shù)學(xué)所涉及的知識(shí)點(diǎn)要比初等數(shù)學(xué)所涉及的多（而且深），大學(xué)的許多內(nèi)容是在中學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行引伸、推廣的。所以可以中學(xué)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)的延伸來設(shè)計(jì)試題，而此內(nèi)容正是高等數(shù)學(xué)研究的范疇，此類題能較好地達(dá)到考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

5.以高等數(shù)學(xué)的思想為背景設(shè)計(jì)試題

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，高等數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)的思想、極限的思想、連續(xù)的思想、導(dǎo)數(shù)的思想、微分的思想、積分的思想、級(jí)數(shù)的思想等等。此類試題體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法。

例4（2010福建高考）對(duì)于具有相同定義域 的函數(shù) 和 ，若存在函數(shù) （ 為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù) ，存在相應(yīng)的 ，使得當(dāng) 且 時(shí)，總有 則稱直線 為曲線 與 的“分漸近線”。給出定義域均為D= 的四組函數(shù)如下：

① ， ；② ， ；

③ ， ；④ ， 。

其中，曲線 與 存在“分漸近線”的是（C）

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④

【解析】本題從大學(xué)數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質(zhì)：存在分漸近線的充要條件是 時(shí)， 進(jìn)行做答。

【說明】初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想存在著直與曲、常與變、有限與無限、間斷與連續(xù)等統(tǒng)一的一面。所以試題的命制還可以以此為著眼點(diǎn)。

對(duì)于高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)試題，絕不是要求教師提前教高等數(shù)學(xué)知識(shí)，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換和過渡，這就要求教師高屋建瓴地處理數(shù)學(xué)教材，教學(xué)生如何進(jìn)行知識(shí)的正遷移，建構(gòu)出熟悉和諧的知識(shí)體系和問題背景。