序論：寫作是一種深度的自我表達。它要求我們深入探索自己的思想和情感，挖掘那些隱藏在內(nèi)心深處的真相，好投稿為您帶來了七篇數(shù)學思想論文范文，愿它們成為您寫作過程中的靈感催化劑，助力您的創(chuàng)作。

篇(1)

在數(shù)學教學中，怎樣寓知識、技能、方法、思想于一個學過程中，是數(shù)學教學的重要課題。由于數(shù)學的高度抽象性、嚴謹?shù)倪壿嬓浴⒔Y論的確定性以及應用的廣泛性這些特征，決定了數(shù)學教學的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識，而不注重學習方法的指導和能力的培養(yǎng)，學生就會跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽老師講時還會，自己做時就錯，臨到考時就蒙，這樣下去是越來越糊涂。所以，要使學生變書本知識為自己知識，就必須學會學習知識的方法。下面就其怎樣使學生在原有知識基礎上學習新知識的方法談些教學體會。

新知識的獲得，離不開原有認知基矗很多新知識都是學生在已有知識基礎上發(fā)展起來的。因此，對于學生來講，學會怎樣在已有知識的基礎上掌握新知識的方法是非常必要的。這就需要教師在教學中精心設計、抓住知識的生長點、促進正遷移的實現(xiàn)。

例如，在研究多邊形內(nèi)角和定理時，可向?qū)W生提出：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180°，那么，你能根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出四邊形的內(nèi)角和嗎？這樣簡單、明了的一句話就勾通了新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系。問題的提出，激發(fā)了學生學習的興趣，促使了學生思維的展開，提供了回答問題的機會，創(chuàng)造了活躍的教學氣氛，學生會準確地回答出四邊形的內(nèi)角和等于360°。又問：你是根據(jù)什么說四邊形的內(nèi)角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學生的回答是作四邊形的對角線，將四邊形分為兩個三角形，而每個三角形的內(nèi)角和等于180°，兩個三角形的內(nèi)角和等于360°。教師馬上對學生的回答給以肯定和鼓勵，再問：五邊形、六邊形的內(nèi)角和等于多少度？學生很快就會回答出五邊形的內(nèi)角和等于540°，六邊形的內(nèi)角和等于720°。接著又問：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？這是老師故意設置“知識障礙”，激發(fā)學生的求知欲望。及時引導、啟發(fā)、遷移、總結規(guī)律。讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)求四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，都是從它們的一個頂點作對角線將它們轉(zhuǎn)化為三角形來求得的，并且內(nèi)角和是由從它們的一個頂點作對角線所分得三角形的個數(shù)確定的，而三角形的個數(shù)又是由這個多邊形的邊數(shù)確定的。從而可知從n邊形的一個頂點作對角線可將n邊形分成（n－2）個三角形，所以n邊形的內(nèi)角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內(nèi)角和定理。這個定理的出現(xiàn)，是教者通過設疑、引導、啟發(fā)學生思維，尋求解題方法，由個性問題追朔到共性問題，總結出了一般規(guī)律。這樣做，不但使學生學會了在原有知識基礎上學習新知識的方法，又培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，還滲透了把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形來研究的數(shù)學轉(zhuǎn)化思想。

當學生在原有知識的基礎上掌握了學習新知識的方法和數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，對于諸如此類的問題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學生很自然就會將它轉(zhuǎn)化為三角形中位線來解決。對于平行四邊形、梯形的問題學生也很容易就想到轉(zhuǎn)化為已有知識來研究。又如，對于解二元二次方程組，學生根據(jù)已學過的解一元二次方程等知識，自然就會想到通過消元將原方程組轉(zhuǎn)為一元二次方程來解之，或?qū)⒍畏匠探M通過降次轉(zhuǎn)化為一次方程或有一個一次方程和一個二次方程組來解決。對于分式方程要通過去分母或換元轉(zhuǎn)化為整式方程來解。對于無理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來解。

在數(shù)學教學中，教師只要做到精心設計教學環(huán)節(jié)，科學的提出問題，采取得體的教學方法、適時疏導，幫助學生學會用自己的語言對所學知識進行概括和總結，以知識講方法，以方法取知識，就能夠調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，達到開發(fā)學生智力、提高學生能力的目的。

篇(2)

在中學數(shù)學的教學中，對“數(shù)形結合”、“由形到數(shù)”，解題時可以觀察圖形的特征以及數(shù)量關系?！皵?shù)”“形”“數(shù)形結合”思想不僅對于學生掌握知識變得統(tǒng)一，更是一種思維的訓練與提高的過程。函數(shù)的單調(diào)性解決不等式、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)的思想對于解決方程根的分布問題。函數(shù)與解析幾何等等都會應用到。但是傳統(tǒng)的教學中，重視表層知識的學習的現(xiàn)象弊端太多，數(shù)學學科是一種抽象思維的學習學科，不同于語言思維，過于感性化，不夠嚴謹與理性，而數(shù)學思維是抽象性、理性嚴謹?shù)闹R體系學科，如果不注重思維學習的方法，是不能達成教學效果和目標的實現(xiàn)的，不利于對于數(shù)學學科的學習,難以提高。

2.“數(shù)形結合思想”在實際生活中的應用

將實際問題轉(zhuǎn)化，運用數(shù)形結合的思想去解決?！皵?shù)形結合”思想可以幫助理解抽象的問題，會在實際生活中有很大的應用?！皵?shù)形結合”的思想不僅在教學中有用，利用數(shù)形結合的思想來解決現(xiàn)實生活中的問題有很大的幫助。例如：對于在實際生活的中，需要地域500元購入60元的單片軟件3片，需要購入70元的磁帶2個，額選購方式有幾種？其實這樣的題目就是對于數(shù)形結合思想、排列以及數(shù)學中不等式的解法的考查，那么只要設需要軟件x片，需要磁帶y盒，然后列出不等式，相反，如果用列舉法一一列出，是可以解決的，但是過程就會變得麻煩。因此，掌握數(shù)形結合思想對實際問題的解決作用是很大的。

3.“數(shù)形結合思想”在幾何當中的應用

中學數(shù)學中對于“數(shù)形結合”思想對于直線、四方形、圓以及圓錐曲線在直角坐標系中的特點，都可以在圖形中尋找解題思路。不論是找對應的圖像，以及求四邊形面積等的幾何問題都有很大的應用。例如：已知正方形ABCD的面積是30平方厘米，E，F(xiàn)是邊AB，BC上的兩點，AF，CE并且相交與G點，并且三角形ABC的面積是5平方厘米，三角形BCE的面積是14平方厘米，要求的是四邊形BEGF的面積。在求解過程中，結合圖形，連接AC\BG并設立方程可巧妙求解?？梢?，在具體實際的幾何中的分析與思考，運用到數(shù)形結合思想就會將問題變得簡單。

4.結語

篇(3)

“親其師，信其道，樂其學”．和諧的師生關系，是教學中師生交流合作活動的基礎、動力和保證．首先，教師在進行教學的過程中要不斷重視自身的情緒表達，培養(yǎng)起良好積極的情緒范圍和情緒能量．其次，和諧的師生關系，也是學生產(chǎn)生積極情感體驗的手段．和諧的師生關系需要教師與同學的共同經(jīng)營，其中一個重要方面就是教師對每個學生自有品性及人格的認可．例如，在接任七(4)班的數(shù)學教學工作時，我認識了小霞．由于先天智力不行，加上后天不認真和單親家庭，她很自卑，導致學習落后．同學們譏笑她，家長也責備她．開學后，我首先制止同學們對她的譏笑和瞧不起，動員大家給她更多的關心和愛護．學習與生活中的每一絲進步都及時進行肯定，不僅在同學面前正式鼓勵，還及時向她的家長肯定她的成長，這種肯定不僅表現(xiàn)在語言上，也體現(xiàn)在每次的善意眼神及行為中．由于老師的表率作用，帶動了全班同學對她的尊重．她逐漸走出了自卑的陰影，有學習的興趣，成績也提高了，人也開朗了．教師對學生的關愛和尊重，教師的每一個眼神、每一句話中，都可以使學生受到激勵，感到振奮，從而形成一種積極向上的情感．這種學習情緒的調(diào)動更是單純的學習溝通無法帶來的，只有良好情緒的共同感染才能引起．于是，教師的情緒便對學生的情緒起著尤其關鍵的影響與作用，只有讓學生真切地感受到自己對教學及學生的熱忱、積極向上的教學情緒、真誠自然的教學態(tài)度，才能讓學生感受到積極輕松的氛圍，繼而在這種課堂氛圍下接納授課內(nèi)容．我會真誠對全體學生說:“老師的教學需要全體同學的支持和配合，老師愿意和同學們一起學好數(shù)學．我不期盼學生背負著從前一紙成績的壓力，更期待的是學生擁有良好的心理，和建立在良好心理基礎上的奮斗意識．一切從現(xiàn)在開始，只要肯努力，我相信每個同學都會進步!”在執(zhí)教過程中，對于學習成績與動力暫時不突出的同學，課上在尊重為主的前提下關注這些學生的行為，更是及時肯定他們踴躍參與課堂活動的表現(xiàn);平時對他們學習上的困難進行耐心輔導，關注他們的點滴進步，不斷給他們加油鼓勁，使他們總是生活在希望之中．我真切地意識到，在老師孜孜不倦的鼓勵與肯定下，學生往往會形成更多的學習主動性與積極性，進而取得更多的進步．

二、以情引趣，創(chuàng)設新鮮的學習情境，讓學生學習勁頭足

數(shù)學教學不僅是一種活動，而且是一種充滿情感交流的過程．師生的交流溝通，不僅應飽含情感與尊重，更應在這樣的基礎上及時鼓勵學生的積極性，這樣才能將精神源頭轉(zhuǎn)化為實際行為．在教學過程中，對教材的深度鉆研是合理規(guī)劃課堂內(nèi)容的基礎，在這一層面上將數(shù)學教材總結的生動有趣，才能使學生有更大興趣．興趣是通往一門新知識的鑰匙，學生的興趣能夠深層影響其學習動力．在講授數(shù)學知識時，可以更多設立中等難度引導學生思考的范圍，讓其進行積極深入的思索，引起學生對新領域新知識的興致．班里幾個同學在拋硬幣，教師可以提問:一個硬幣正面向上的可能性有幾種?兩個呢?這樣的引發(fā)學生思考的提問，能夠逐步地引發(fā)學生的疑惑與求知的欲望，進而讓學生在新課程的講授中更加集中注意力并積極參與，在接下來的課程中，接二連三的拋出讓學生思考的問題，將課程的講授自然地深入進行，而學生也就在稍有間斷的思考中不斷獲取新的書本知識．然后又問:三個硬幣呢?學生帶著疑問看多媒體計算機演示．精心安排與引導的課程環(huán)節(jié)，能夠讓學生一直處在被求知欲與好奇心包圍的氛圍之中，教師不僅將課本知識得以傳授，更可以通過輕松有趣的溝通方式與學生建立情感深入交流，讓全體學生都在輕松的學習過程中體會到獨立思考的樂趣，通過多次這樣的教學慢慢培養(yǎng)學生主動思考與積極參與的有益習慣．

三、以情促知，恰當?shù)貙⒅R潛移默化，能使學生興奮，對正確理解和鞏固知識有好處

贊可夫認為，少兒的情緒反應和其好奇、疑惑、思考、探索等行為是緊密相關的，并且會互相影響．也就是說愉悅、輕松、有成就感的學習過程能夠潛移默化地引導學生的學習行為，進而達到促進學習勁頭的良性循環(huán)．然而，這樣的良性循環(huán)并不是一次或幾次就能達到的結果，授課的過程是漫長且需要耐心的，根據(jù)不同學生的基本情況進行分層次教學模式，不對優(yōu)秀學生偏袒也不對暫時落后的學生另眼相看，在讓每一位學生都能感受到相比從前自己的進步，讓學生從內(nèi)心深處認可自己的進步與潛力，在不斷提升的自我認可度基礎上，逐步用行動證明自身的努力成果．在教學過程中，我力求做到如下兩點:一是反饋練習的設計注重層次性，突出針對性:足量的基本練習給基礎較差的學生創(chuàng)設了成功的機會;設置不同層次的練習題目，分為必做和選做等多種題型，這樣就能讓學習成績較好的學生有更多的發(fā)揮空間與求學動力，不會感覺到知識的信手拈來，讓這部分學生迎難而上．二是練習形式的多樣性，增強趣味性．鞏固反饋階段，有書面練習，口答練習，也有動手操作練習，有小組合作，也有競賽，調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)他們的學習興趣，動靜結合，充分開發(fā)學生的潛能，增強學生以學為主的情感．

四、以言喚情，用情促行

教學語言既是一門科學，也是一門藝術．它是提高課堂教學效果行之有效的重要手段．有人說“教師應該是語言大師”．這句話說得非常恰當，因為教師就是通過語言來授之以理、授之以法的．有的教師總是能把一節(jié)課講得有聲有色，很好地完成教學任務．而有的教師則詞不達意，言不傳情，因此效果極差．可見，課堂教學語言的藝術是多么重要．在數(shù)學教學過程中，教師的專業(yè)術語精確練達固然重要，更讓學生產(chǎn)生情感共鳴的還應是教師的言語方式及個人風度涵養(yǎng)，優(yōu)秀的師風師德配合表達風趣、結構嚴謹?shù)恼Z言，必然能吸引更多學生的注意力與求知欲．例如，有的教師在初次接觸幾何課的學生面前，用一支筆能測量高樓的懸殊對比這一生動例子，很好地抓住了學生的疑惑心理，學生聽后目瞪口呆，隨后議論起來如何測量．教師提問:想知道如何測量嗎?學生回答非常想知道．那我們必須學好八年級的幾何!本節(jié)課學生情緒高漲，聽得、學得、做得都非常認真、入神、到位．在上課的同時，教師要經(jīng)常用“你太棒了!”“還有別的做法嗎?”用這樣的提問式語句與互動方式，提供給學生自主發(fā)揮想象空間的平臺，通過幾何就在生活中隨處可見的例子，拉近新課程與學生的心理距離．

五、結語

篇(4)

1用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)是由特殊到一般的抽象，是中學數(shù)學中重要的代數(shù)方法。初一教材第一章代數(shù)初步知識的引言中，就蘊涵用字母表示數(shù)的思想，先讓學生在引言實例中計算一些具體的數(shù)值，啟發(fā)學生歸納出用字母表示數(shù)的思想，認識到字母表示數(shù)具有問題的一般性，也便于問題的研究和解決，由此產(chǎn)生從算術到代數(shù)的認識飛躍。

學生領會了用字母表示數(shù)的思想，就可順利地進行以下內(nèi)容的教學：（1）用字母表示問題（代數(shù)式概念，列代數(shù)式）；（2）用字母表示規(guī)律（運算定律，計算公式，認識數(shù)式通性的思想）；（3）用字母表示數(shù)來解題（適應字母式問題的能力）。因此，用字母表示數(shù)的思想，對指導學生學好代數(shù)入門知識能起關鍵作用，并為后續(xù)代數(shù)學習奠定了基矗

2分類思想

數(shù)學問題的研究中，常常根據(jù)問題的特點，把它分為若干種情形，有利問題的研究和解決，這就是數(shù)學分類的思想。初一教材中的分類思想主要體現(xiàn)在：（1）有理數(shù)的分類；（2）絕對值的分類；（3）整式分類。教學中，要向?qū)W生講請分類的要求（不重、不漏），分類的方法（相對什么屬性為類），使學生認識分類思想的意義和作用，只有通過分類思想的教學，才能使學生真正明確：一個字母，在沒有指明取值范圍時，可以表示大于零、等于零、小于零的三種情形。這是學生首次認識一個有理數(shù)的取值討論的飛躍，不要出現(xiàn)認為一個字母就是正數(shù)、一個字母的相反數(shù)就是個負數(shù)的片面認識。這樣，學生做一些有關分類討論的題也就不易出錯，使學生養(yǎng)成運用分類思想解題的習慣，培養(yǎng)嚴謹分析問題的能力。

3．數(shù)形結合的思想

將一個代數(shù)問題用圖形來表示，或把一個幾何問題記為代數(shù)的形式，通過數(shù)與形的結合，可使問題轉(zhuǎn)化為易于解決的情形，常稱為數(shù)形結合的思想。初一教材第二章的數(shù)軸就體現(xiàn)數(shù)形結合的思想。教學時，要講清數(shù)軸的意義和作用（使學生明確數(shù)軸建立數(shù)與形之間的聯(lián)系的合理性）。任意一個有理數(shù)可用數(shù)軸上的一個點來表示，從這個數(shù)形結合的觀點出發(fā)，利用數(shù)軸表示數(shù)的點的位置關系，使有理數(shù)的大小，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運算、乘法運算都能直觀地反映出來，也就是借助數(shù)軸的思想，使抽象的數(shù)及其運算方法，讓人們易于理解和接受。所以，這樣充分運用數(shù)形結合的思想，就可突破有理數(shù)及其運算方法的教學困難。

4方程思想

所謂方程的思想，就是一些求解未知的問題，通過設未知數(shù)建立方程，從而化未知為已知（此種思想有時又稱代數(shù)解法）。初一代數(shù)開頭和結尾一章，都蘊含了方程思想。教學中，要向?qū)W生講清算術解法與代數(shù)解法的重要區(qū)別，明確代數(shù)解法的優(yōu)越性。代數(shù)解法從一開始就抓住既包括已知數(shù)、也包括未知數(shù)的整體，在這個整體中未知數(shù)與已知數(shù)的地位是平等的，通過等式變形，改變未知數(shù)與已知數(shù)的關系，最后使未知數(shù)成為一個已知數(shù)。而算術解法，往往是從已知數(shù)開始，一步步向前探索，到解題基本結束，才找出所求未知數(shù)與已知數(shù)的關系，這樣的解法是從把未知數(shù)排斥在外的局部出發(fā)的，因此未知數(shù)對已知數(shù)來說其地位是特殊的。與算術解法相比，代數(shù)解法顯得居高臨下，省時省力。通過方程思想的教學，學生對用字母表示數(shù)及代數(shù)解法的優(yōu)越性得到深刻的認識，激發(fā)他們學好方程知識，運用方程思想去解決問題。由此，學生用代數(shù)方法解決問題和建立數(shù)學模型的能力得到了培養(yǎng)。

5化歸思想

化歸思想是把一個新的（或較復雜的）問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的問題上來。它是數(shù)學最重要、最基本的思想之一。初一數(shù)學中的化歸思想主要體現(xiàn)在：

（1）用絕對值將兩個負數(shù)大小比較化歸為兩個算術數(shù)（即小學學的數(shù)）的大小比較。

（2）用絕對值將有理數(shù)加法、乘法化歸為兩個算術數(shù)的加法、乘法。

通過這樣的化歸，學生既對絕對值的作用、有理數(shù)的大小比較和運算有清晰的認識，而且對知識的發(fā)展與解決的方法也有一定的認識。

（3）用相反數(shù)將有理數(shù)的減法化歸為有理數(shù)的加法。

（4）用倒數(shù)將有理數(shù)除法化歸為有理數(shù)的乘法。

篇(5)

無論是任何一個學科的教學中，教材都會起到不可忽視的重要作用。然而，當下的實用經(jīng)濟數(shù)學教材卻在很大程度上存在著多個方面的缺陷和不足。具體體現(xiàn)在教材的編撰思想上，過度的重視實用經(jīng)濟數(shù)學的理論、公式，不能很好的體現(xiàn)出經(jīng)濟性以及實用性。所以，在教材方面，筆者建議可以從以下幾個方面進行彌補：首先，教材要充分的體現(xiàn)出經(jīng)濟性與實用性，所以要在教材中以及課堂中增添相關的案例。其次，對數(shù)學的理論、公式的具體推理過程要淡化，重視對實例的研究和思考。

2.豐富教學方法

由于實用經(jīng)濟數(shù)學教學的目的和特點，就決定了運用傳統(tǒng)的，比較單一的授課模式，即講授式，是不可能達到理想的教學目標的。所以，在教學的過程中，要多種教學方法并用，尤其是能夠促進學生思考，激起學生興趣的教學方式，如討論式教學法、啟發(fā)式教學法等等，對于實用經(jīng)濟數(shù)學教學中融入建模思想都是非常有益的。

3.改革學生成績評價機制，為社會輸送應用型專門人才

由于當下的教育中，對于考試成績的重視程度極高。然而，在實用經(jīng)濟數(shù)學的考試中，卻在很大程度上側重于推理以及推理過程中的計算。這就使得教師以及學生在教學以及學習的過程中都過度的重視推理與計算。所以要想提高數(shù)學建模思想的在課堂中的滲透，必須要改變學生的成績評價機制，從而為我國培養(yǎng)更多的具有高強度思維能力的人才。

4.加強師資隊伍建設,培養(yǎng)應用型專門數(shù)學教師

由于現(xiàn)在的經(jīng)濟數(shù)學教師在大學時接受的都是傳統(tǒng)的數(shù)學教育，依據(jù)他們現(xiàn)有的教育觀念和知識結構，很難真正實現(xiàn)上述三條措施，因此應大力加強經(jīng)濟數(shù)學師資隊伍的建設。要加強教師的數(shù)學教育哲學、現(xiàn)代教育理論的學習，從根本上轉(zhuǎn)變教師的數(shù)學教學觀，要專門培養(yǎng)一批精通數(shù)學建模方法和數(shù)學軟件的使用、掌握經(jīng)濟學基本知識、了解經(jīng)濟問題。要想將數(shù)學建模思想很好的應用在實用經(jīng)濟數(shù)學中，需要從教學的多個方面進行考慮。然而，以上也僅僅是實用經(jīng)濟數(shù)學建模思想的幾個方面的探索，且這些研究都還比較淺顯。而僅僅憑借這些研究來提高實用經(jīng)濟數(shù)學的教學質(zhì)量，并且將數(shù)學建模思想很好的應用在實用經(jīng)濟數(shù)學中，顯然是遠遠不夠的。所以，對于實用經(jīng)濟數(shù)學中融入數(shù)學建模思想的研究還需要數(shù)學教育領域的研究人士進行進一步的研究和思考。

5、結語

篇(6)

論文關鍵詞：一元一次方程中的整體思想

 

在解一元一次方程時，若把著眼點放在問題的整體上，將一個代數(shù)式看作一個“整體”來處理，可使解題過程簡捷明快，常能達到事半功倍的效果．請看幾例.

一 整體合并

例1解方程 ﹙2x-1﹚+﹙x-1﹚+﹙1-2x﹚=0

分析：將2x-1視為整體，進行合并，即可迅速獲解.

解：原方程化為 ﹙2x-1﹚-﹙2x-1﹚+﹙x-1﹚=0

合并同類項得 x-1=0

∴x=1.

二 整體移項

例2 解方程x-〔x-﹙2113-x〕〕=﹙2113-x〕+1

分析：：將2113-x視為一個整體，先去中括號，再移項合并，即可迅速獲解．

解：原方程化為x-x+ ﹙2113-x〕=﹙2113-x〕+1

移項得 x-x+ ﹙2113-x〕-﹙2113-x〕=1

合并同類項得 x=1

化系數(shù)為1得 x=.

三 整體去括號

例3 解方程 〔﹙x-1〕-2〕-x=2.

分析：將小括號內(nèi)的代數(shù)式看成一個“整體”，先去中括號，再去小括號小學數(shù)學論文，可減少運

算中因多次變號可能出現(xiàn)的各種錯誤，從而簡化解題過程．

解：去中括號得﹙x -1〕-3-x=2.

移項，合并同類項得 -3x=24

化系數(shù)為1得 x=-8.

四 整體添括號

例4 解方程3｛2x-l-〔3(2x-1)+3〕｝=5.

分析：將2x—1視為一個整體.

解：原方程為 3｛（ 2x-l）-〔3(2x-1)+3〕｝= 5.

去大、中括號得 3（2x-l）一9（2x-l）-9=5.

合并同類項得 -6 ( 2x-1 ) =14.

∴ x = -.

五 整體加1

例5 解方程++=-3 （其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)）．

分析：注意到三個分數(shù)中分子與分母的和都相同，因此可用“整體加l”的方法來解．

解：原方程可化為﹙+1﹚+﹙+1﹚+﹙+1﹚=0.

++=0.

整體合并同類項得 ﹙++﹚﹙x+a+b+c﹚=0.

當++≠0時，x=-a-b-c.

當++=0時,方程有無數(shù)個解.

點評：對于某些含有分母的一元一次方程，當用分子加上分母時，所有分數(shù)的分子都相同，此時可用“整體加1”的方法巧解方程.

六 整體減1

例6 解方程 ﹙x+2009﹚+﹙x+2011﹚ = 3 -﹙x+2010﹚

分析：原方程即+=3-中，注意到三個分數(shù)的分子與分母的差都相同，因此可用“整體減1”的方法來解．

解：原方程可化為﹙-1﹚+﹙-1﹚+﹙-1﹚=0

即 ++=0

整體合并同類項得﹙++﹚﹙x-1﹚=0

即x-1=0

∴x=1.

點評：對于某些含有分母的一元一次方程，當用分子減去分母時，所有分數(shù)的分子都相同，此時可用“整體減l”的方琺巧解方程．

篇(7)

數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數(shù)學的真諦，學會數(shù)學的思考和解決問題，并對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的思維活動起著指導和調(diào)控的作用。日本數(shù)學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數(shù)學，那么作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用。所以突出數(shù)學思想方法教學，是當代數(shù)學教育的必然要求，也是數(shù)學素質(zhì)教育的重要體現(xiàn)，如何在中學數(shù)學教材中體現(xiàn)數(shù)學思想方法也是一個十分重要的問題．

2001年我國新一輪基礎教育課程改革已正式啟動,此次基礎教育數(shù)學課程改革的特點之一就是把數(shù)學思想方法作為課程體系的一條主線。已經(jīng)有不少文章探討初中數(shù)學教材中的數(shù)學思想方法，但對高中數(shù)學教材中蘊含的數(shù)學思想方法探討較少。事實上，高中數(shù)學教材的改革也已經(jīng)開始醞釀，目前高中普遍使用的數(shù)學教材是人教社2000年版的《全日制普通高級中學教科書（試驗修定本）•數(shù)學》（下稱普通教材），也有部分高中根據(jù)學生的情況選用了原國家教委的《中學數(shù)學實驗教材（試驗本•必修•數(shù)學）》（下稱實驗教材）。可以說在素質(zhì)教育推動下，與舊數(shù)學教材相比這兩套新教材在內(nèi)容、結構編排上都有了很大變化，都體現(xiàn)了新的數(shù)學教育觀念，而在原國家教委的《中學數(shù)學實驗教材》中尤其突出了數(shù)學思想和數(shù)學方法，體現(xiàn)了知識教學和能力培養(yǎng)的統(tǒng)一。本文就著重探討高中數(shù)學內(nèi)容中所蘊含的數(shù)學思想方法，并對實驗教材與普通教材在數(shù)學思想方法處理方面進行比較。

二、高中數(shù)學應該滲透的主要數(shù)學思想方法

1、數(shù)學思想與數(shù)學方法

數(shù)學思想與數(shù)學方法目前尚沒有確切的定義，我們通常認為，數(shù)學思想就是“人對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想”。就中學數(shù)學知識體系而言，中學數(shù)學思想往往是數(shù)學思想中最常見、最基本、比較淺顯的內(nèi)容，例如：模型思想、極限思想、統(tǒng)計思想、化歸思想、分類思想等。數(shù)學思想的高層次的理解，還應包括關于數(shù)學概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的認識，任何一個數(shù)學分支理論的建立，都是數(shù)學思想的應用與體現(xiàn)。

所謂數(shù)學方法，是指人們從事數(shù)學活動的程序、途徑，是實施數(shù)學思想的技術手段，也是數(shù)學思想的具體化反映。所以說，數(shù)學思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學方法是外顯的，數(shù)學思想比數(shù)學方法更深刻，更抽象地反映了數(shù)學對象間的內(nèi)在聯(lián)系。由于數(shù)學是逐層抽象的，數(shù)學方法在實際運用中往往具有過程性和層次性特點，層次越低操作性越強。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數(shù)法等等。

總之，數(shù)學思想和數(shù)學方法有區(qū)別也有聯(lián)系，在解決數(shù)學問題時，總的指導思想是把問題化歸為能解決的問題，而為實現(xiàn)化歸，常用如一般化、特殊化、類比、歸納、恒等變形等方法，這時又常稱用化歸方法。一般來說，強調(diào)指導思想時稱數(shù)學思想，強調(diào)操作過程時稱數(shù)學方法。

2、高中數(shù)學應該滲透的主要數(shù)學思想方法

中學數(shù)學教育大綱中明確指出數(shù)學基礎知識是指：數(shù)學中的的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理及由數(shù)學基礎內(nèi)容反映出來的數(shù)學思想方法?？梢姅?shù)學思想方法是數(shù)學基礎知識的內(nèi)容，而這些數(shù)學思想方法是融合在數(shù)學概念、定理、公式、法則、定義之中的。

在初中數(shù)學中，主要數(shù)學思想有分類思想、集合對應思想、等量思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、統(tǒng)計思想和轉(zhuǎn)化思想。與之對應的數(shù)學方法有理論形成的方法，如觀察、類比、實驗、歸納、一般化、抽象化等方法，還有解決問題的具體方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數(shù)、分析、綜合等方法。這些數(shù)學思想與方法，在義務教材的編寫中被突出的顯現(xiàn)出來。

在高中數(shù)學教材中，一方面以抽象性更強的高中數(shù)學知識為載體，從更高層次延續(xù)初中涉及的那些數(shù)學思想方法的學習應用，如函數(shù)與映射思想、分類思想、集合對應思想、數(shù)形結合思想、統(tǒng)計思想和化歸思想等。另一方面，結合高中數(shù)學知識，介紹了一些新的數(shù)學思想方法，如向量思想、極限思想，微積分方法等。

因為其中一些數(shù)學思想方法都介紹很多了，這里只談一下初等微積分的基本思想方法。無窮的方法，即極限思想方法是初等微積分的基本思想方法，所謂極限思想（方法）是用聯(lián)系變動的觀點，把考察的對象（例如圓面積、變速運動物體的瞬時速度、曲邊梯形面積等）看作是某對象（內(nèi)接正n邊形的面積、勻速運動的物體的速度，小矩形面積之和）在無限變化過程中變化結果的思想（方法），它出發(fā)于對過程無限變化的考察，而這種考察總是與過程的某一特定的、有限的、暫時的結果有關，因此它體現(xiàn)了“從在限中找到無限，從暫時中找到永久，并且使之確定起來”（恩格斯語）的一種運動辨證思想，它不僅包括極限過程，而且又完成了極限過程?？v觀微積分的全部內(nèi)容，極限思想方法及其理論貫穿始終，是微積分的基礎。

三、普通教材與實驗教材在數(shù)學思想方法處理方面的比較

普通高中教育是與九年義務教育相銜接的高一層次基礎教育，在數(shù)學教材的編寫上，必須要注意培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力和終身學習的能力。與舊教材相比，新的數(shù)學教材開始重視滲透數(shù)學思想方法，那么高中現(xiàn)行使用的普通教材與實驗教材在數(shù)學思想方法處理方面有何異同呢？因為內(nèi)容太多，下面只能粗略的作一比較。

1、相同之處在于

普通教材與實驗教材都多將數(shù)學思想方法的展示，融合在數(shù)學的定義、定理、例題中。例如集合的思想，就是通過集合的定義“把某些指定的對象集在一起就成為一個集合”，及通過用集合語言來表述問題，體現(xiàn)了集合思想方法來處理數(shù)學問題的直觀性，深刻性，簡潔性。對非常重要的數(shù)學思想方法也采用單獨介紹的方式，如普通教材與實驗教材都將歸納法列為一節(jié)，詳細學習。

2、不同之處在于

（1）有些在普通教材中隱含方式出現(xiàn)的數(shù)學思想方法，在實驗教材中被明確的指出來，并用以指導相關數(shù)學知識的展開。

關于數(shù)學方法

我們舉不等式證明方法的例子。實驗教材在不等式一章第三節(jié)“證明不等式”中詳細講述了不等式證明的方法，比較法、綜合法、分析法、反證法。普通教材中雖然也在不等式一章，列出第三節(jié)“不等式的證明”介紹比較法、綜合法、分析法，但對方法的分析不夠透徹，更象是為了解釋例題。比如在綜合法的介紹中，普通教材只講：“有時我們可以用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法?！?/p>

而在實驗教材更準確更詳細的介紹：“依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知的不等式，正確運用邏輯推理規(guī)律，逐步推導出所要證明的不等式的方法，稱為綜合法。綜合法實質(zhì)上是“由因?qū)Ч钡闹苯诱撟C，其要點是：四已知性質(zhì)、定理、出發(fā)，逐步導出其“必要條件”，直到最后的“必要條件”是所證的不等式為止”。分析法的介紹也是這樣，在實驗教材中給出了分析法實質(zhì)是“執(zhí)果索因”的說明，這樣學生能清楚的領會綜合法、分析法的要義，會證不等式的同時學會了綜合法和分析法，而不僅是能證明幾個不等式。

關于數(shù)學思想

在實驗教材第一冊（下）研究性課題“函數(shù)學思想及其應用”中，明確提出“把一個看上去不是明顯的函數(shù)問題，通過、或者構造一個新函數(shù)，利用研究函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解決給出的問題，就是函數(shù)思想”，并舉例用函數(shù)思想解決最值問題、方程、不等式問題，及一些實際應用的問題。其實普通教材在講函數(shù)時也在用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數(shù)量關系，通過函數(shù)形式把這種數(shù)量關系進行刻劃并加以研究，但從未提函數(shù)思想方法。雖然實驗教材中只是以研究性課題的形式，對函數(shù)思想作以介紹和應用探討，可這已經(jīng)是一種重視數(shù)學思想方法的信號，隨著今后素質(zhì)教育的推進，和實踐經(jīng)驗的積累，我想數(shù)學思想方法在數(shù)學教材中會有更明確的介紹。我們舉向量的例子。

（2）實驗教材中還增加了一些數(shù)學思想方法的介紹。

關于數(shù)學方法

普通教材在第一冊第三章“數(shù)列”中只介紹了數(shù)列的概念、等差等比數(shù)列及其求和，而在實驗教材第二冊（下）的第十章“數(shù)列”中增加了第四節(jié)“數(shù)列應用舉例”介紹了作差，將某些復雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的方法。這在潛移默化中也滲透了轉(zhuǎn)化的思想。又如在第一冊（上）中，增加了研究性課題“待定系數(shù)法的原理、方法及初步應用”，閱讀材料“插值公式與實驗公式”，雖然不是作為正式章節(jié)，但也體現(xiàn)了對數(shù)學思想方法的重視。再如數(shù)學歸納法普通教材介紹的相當簡略，而實驗教材詳細介紹了什么是歸納法，歸納法的結論是否一定正確，什么是數(shù)學歸納法歸納起始命題等問題，還舉了大量例子，切實注重讓學生真正理解方法。

關于數(shù)學思想

實驗教材中對向量，解析幾何的處理體現(xiàn)了將向量思想，幾何代數(shù)化思想的引入，并用這些數(shù)學思想方法來統(tǒng)領相關數(shù)學知識的介紹。實驗教材在第六章“平面向量”開首就講：“代數(shù)學的基本思想方法是運用運算律去系統(tǒng)地解答各種類型的代數(shù)問題；幾何學研究探索的內(nèi)容是空間圖形的性質(zhì)?！谶@一章中，我們首先要把表達“一點相對另一點的位置”的量定義為一種新型的基本幾何量……我們稱之為向量，……這樣，我們就可以用代數(shù)的方法研究平面圖形性質(zhì)，把各種各樣的幾何問題用向量運算的方法來解答。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介紹：“……，位移是一個既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章報要研究的向量。向量是數(shù)學中的重要概念之一。向量和數(shù)一樣也能進行運算，而且用向量的有關知識更新還能有效地解決數(shù)學、物理、等學科中的很多問題。這一章里，我們將學習向量的概念、運算及其簡單的應用?！憋@然實驗教材是從數(shù)學思想方法的高度來引入向量，這也使后面內(nèi)容的學習可以以此為線索，體現(xiàn)了知識的內(nèi)在統(tǒng)一。實驗教材在第六章“平面向量”之后，緊接著設置了第七章“直線和圓”，從第七章的內(nèi)容提要中我們看出這樣設計是有良苦用心的。內(nèi)容提要如下：“人們對于事物的認識和理解，總是要經(jīng)過逐步深化的過程和不斷推進的階段。對于空間的認識和理解，就是先有實驗幾何，然后推進到推理幾何，理推進到解析幾何。在第六章，我們引進了平面向量，并且建立了向量的基本運算結構，把平面圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為得量的運算和運算律，從而奠定了空間結構代數(shù)化的基礎；再通過向量及其運算的坐標表示，實現(xiàn)了從推理幾何到解析幾何的轉(zhuǎn)折。解析幾何是用坐標方法研究圖形，基本思想是通過坐標系，把點與坐標、曲線與方程等聯(lián)系起來，從而達到形與數(shù)的結合，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行研究和解決。”并且在后面直線的方程、直線的位置關系點到直線的距離幾節(jié)中都自然而然的延續(xù)了向量的思想和方法，使直線的學習連慣、完整、深刻。而普通教材將第一冊（下）的第五章設為“平面向量”，在第二冊（上）的第七章才設置“直線和圓的方程”，中間隔了不等式一章，并且在內(nèi)容上，也沒有將向量與直線方程聯(lián)系起來，關于法向量、點直線點法式方程都沒有講，只是隨后設置了“向量與直線”的閱讀材料簡單介紹法向量、直線間的位置關系。

四、重視數(shù)學思想方法，深化數(shù)學教材改革

1、在知識發(fā)生過程中滲透數(shù)學思想方法

這主要是指定義、定理公式的教學。一是不簡單下定義。數(shù)學的概念既是數(shù)學思維基礎，又是數(shù)學思維的結果。概念教學不應簡單地給出定義，而是應引導學生感受或領悟隱含于概念形成之中的數(shù)學思想方法。二是定理公式介紹中不過早下結論，可能的話展示定理公式的形成過程，給教師、學生留有參與結論的探索、發(fā)現(xiàn)和推導過程的機會。

2、在解決問題方法的探索中激活數(shù)學思想方法

①注重解題思路的數(shù)學思想方法分析。在例題、定理證明活動中，揭示其中隱含的數(shù)學思維過程，才能有效地培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思想方法。如運用類比、歸納、猜想等思想，發(fā)現(xiàn)定理的結論，學會用化歸思想指導探索論證途徑等。

②增強解題的數(shù)學思想方法指導。解題的思維過程都離不開數(shù)學思想的指導，可以說，數(shù)學思想指導是開通解題途徑的金鑰匙。將解題過程從數(shù)學思想高度進行提煉和反思，并從理論高度敘述數(shù)學思想方法，對學生真正理解掌握數(shù)學思想方法，產(chǎn)生廣泛遷移有重要意義。3、在知識的總結歸納過程中概括數(shù)學思想方法，以數(shù)學思想方法為主線貫穿相關知識

概括數(shù)學思想方法可以從某個概念、定理、公式和問題教學中縱橫歸納，反過來也可以以數(shù)學思想方法統(tǒng)領相關知識，

總之，數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精髓，我們在中學數(shù)學教材中，應努力體現(xiàn)數(shù)學思想方法，不失時機的向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法，學生方能在運用數(shù)學解決問題自覺運用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題，這也是素質(zhì)教育的要求。

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